jetzt geht aber alles drunter und drüber....

Wo fangen wir an?

Ein mathematischer Punkt (also ohne Ausdehnung) wird durch die Abbildungsfehler (im weitesten Sinne) zu einem Flecken mit Ausdehnung verbreitert. Die Verbreiterung dieses Punktes wird auf Neudeutsch als "Point-Spread-Function" (PSF) bezeichnet: Die Verbeiterung kann verschiedene Formen annehmen: Z.B. kann sie einfach nur eine Gaußsche Verteilungsfunktion sein (wie sie auf dem letzten 10 DM Schein abgebildet war), oder etwas extrem komplexes. In allen Fällen ist die Verbreiterung aber nicht rechteckig. Sie hat also im Zentrum eine maximale Intensität, die nach außen hin immer weiter abfällt aber nie wirklich den Wert Null erreicht. Was ist nun die Breite bzw. der Durchmesser einer solchen Funktion? Das ist reine Defintionssache. Oft wird einfach die Breite bei der halben maximalen Intensität gewählt ("Full-Width-Half-Maximum", FWHM). Aber das ist im Grunde eine rein willkürliche Definition. Genausogut kann man sich darauf einigen die Breite bei 10% oder 90% der Maximalintensität anzugeben. Bei einer Gaußverteilung gibt man praktischerweise daher den Wert sigma an.

Bilden wir nun zwei mathematische Punkte ab, und zwar so, dass die jeweils halben Intensitäten der beiden PSF zusammenfallen, dann summieren sich die Intensitäten zu 50%+50%=100% Intensität auf. Das Ergebnis: Wir können die beiden Punkte nicht mehr unterscheiden: Die Maximalintensitäten verschmelzen.

Nun ist die Frage: Wie weit muss ich die Punkte auseinanderschieben, so dass zwischen den beiden PSF eine klar unterscheidbare Delle entsteht, so dass ich klar sagen: Ja, das sind zwei verschiedene Punkte.

Was uns zur nächsten Frage bringt: Wie groß muss die Delle sein, also der Intensitätsabfall, dass ich die Delle klar als Delle im Unterscheid zu den Maximalintensitäten erkennen kann? Es geht nicht bei 100% der Maximalintensität; die Delle muss aber auch nicht auf 5% der Maximalintensität abfallen. Das ist jetzt eine Frage der Messtechnik, wie gut ich Intensitäten unterscheiden kann: Das Auge schafft normalerweise 10% Intensitätsunterschiede.

Nun zum Beugungsscheibchen: Hier kommt nun die Besselfunktion und John William Strutt besser bekannt als "Lord Rayleigh" ins Spiel: Sein Vorschlag war: Die beugungsbedingte Verbreiterungen des mathematischen Punktes (also PSF Beugungsscheibchen) sind unterscheidbar, wenn das Maximum des zweiten Beugungsscheibchens mit dem ersten Minimum des ersten Beugungsscheibchens zusammenfällt -- was die hier versteckte Besselfunktion beim Wert 1,22*pi tut: Sie wird hier null.

Wenn wir nun die beiden Beugungsscheibchen wie Lord Rayleigh vorgeschlagen hat platzieren, beträgt die Delle zwischen den beiden PSF ca. 20%.

Ist das die "Auflösung"? Ja, 20% kann man klar erkennen. Nein, 10% würden auch reichen. Daher rechnet der Autor des Beitrags vom 1.7.2010 -- 19:13 mit einem Wert von 1,0 statt 1,22. Damit erhalten wir seine:

1 / (1.0 * 5.6 * 555 nm) = 322 lp/mm

Und ja, es sind Linienpaare pro Millimeter. Linien pro milimeter geht nicht: Sie brauchen nicht nur die Linie selber, sondern auch noch den Abstand dazwischen. Machen Sie selber den Versuch: Nehmen Sie einen Filzstift und ziehen auf dem Blatt eine Linie mit dem Lineal. Dann ziehen Sie noch eine Linie daneben, in exakt dem Abstand der Breite der ersten Linie. Die beiden Linien sind also jetzt ohne Nicht-Linie dazwischen. Können Sie die beiden Linien unterscheiden? Nein. Sie erscheinen als eine breite Linie. Sie müssen schon ein bisschen Platz zwischen den beiden Linien lassen, damit Sie sie als zwei verschiedene Linien wahrnehmen. Von daher müssen sich alle Angaben immer auf Linie und Nicht-Linie beziehen. Linien alleine kann man nicht auflösen. Wie breit muss der Platz dazwischen sein? Warum nicht genauso breit wie die Linien selber? Das hat den Vorteil, dass, wenn die schwarze Linie schmaler wird als das Objektiv auflösen kann (also die Breite der Linie selber z.B. im Beugungscheibchen verschwindet), der Abstand zwischen den Linien ebenfalls geringer wird. Und damit haben Sie genau die Situation der beiden "mathematischen Punkte", die Sie abbilden. So wird aus "Linie" und "Nicht-Linie" bzw. einer schwarzen und einer weißen Linie ein "Linienpaar" -- was uns wiederum zur messtechnischen Eleganz des Siemensstern bringt: Linie und Nicht-Linie (also Linienpaar) rücken immer weiter zusammen, bis beide nicht mehr unterscheidbar sind.

Übrigens: Eine andere Darstellung der PSF ist die "Modulations-Transfer-Funktion", MTF (genauer: Die MTF ist die Fouriertransformierte der PSF). Zur Erinnerung: In den zahlreichen Diagrammen, die man so findet, wird ebenfalls die 10% Kontrastlinie als Auflösungsgrenze eingezeichnet.

Ach ja: Und schließlich und endlich gibt es neben dem Rayleigh-Kriterium noch die Dawes-Grenze, wo die Delle nur 5% tief ist. ;-)